前の記事『数学者も悩んだ確率の話 モンティー・ホール問題を解説してみた』で、モンティー・ホール問題という直感に反するような確率の問題を紹介しました。
他にも、不思議で面白い確率の問題を紹介しましょう。
直感と違う結果が出て、戸惑うかもしれませんよ。
病気の検査
よく知られた例に病気の検査にかかわるものがあります。
ある病気にかかっているかどうか調べる検査があって、その正確さは99％だとします。
病気にかかっている人が検査を受けると、99％は陽性反応がでますが、1％は陰性反応と間違った結果を示します。
逆に病気にかかっていない人が検査を受けると、99％は陰性反応がでますが、1％の確率で陽性反応が出てしまいます。
ここで問題です。
「あたがこの検査を受けて陽性反応が出たとします。そのとき本当に病気にかかっている確率はいくらでしょうか？」
間違った答え
「99％の確率で正しい結果が出る検査だから、99％病気にかかっているに決まっている」
そう思いがちです。
実は、答えは全く違うのです。
そしてこの問題文だけだと、実際に病気にかかっている確率を計算することはできません。
事前確率
『数学者も悩んだ確率の話 モンティー・ホール問題を解説してみた』の中で、このような説明をしています。
「事前確率から事後確率を求める場合、直感に反した結果が出ることが多々あります」
この例では一見、事前確率も事後確率もないように思えます。
でも実際には、事前確率と事後確率の計算が必要なのです。
この場合の事前確率は？
知りたいのは、検査を受けて陽性反応が出たときに病気だという確率です。
「陽性反応」という情報によって変化した事後確率だと考えることができます。
すると、事前確率は「検査を受ける前の病気にかかっている確率」になります。
事前確率を考慮して考える
1万人にひとりの割合で患う病気だったら、事前確率は1万分の1です。
そこから、検査が陽性だったという情報を付け加えて事後確率を計算することになります。
ここでは単純計算で確率を計算してみます。
1万人が検査を受けて、その中にひとり病気にかかっている人がいたとします。
その人は99%の確率で陽性反応がでるので、おそらく陽性反応を示すでしょう。
残りの9,999人は病気にかかっていません。
9,999人では計算が面倒になるので、1万人にしておきましょう。
病気にかかっていない人でも1%の確率で陽性反応が出ます。
ですから、1万人いれば陽性反応を示す人が100人くらいいるはずです。
結局、1万人が検査を受けると、陽性反応が出る人が101人、その中で本当に病気にかかっている人は、1人です。
もし、その病気が1万人にひとりという稀な病気なら、
「陽性反応が出たときに実際に病気にかかっている確率は約1%」
99％正しい検査で陽性が出ても、実際に病気にかかっている確率は1％しかないのです。
少し不思議な気がしませんか？
子供の性別
別の例を紹介します。
Ａさんには子供がふたりいて、ひとりは男の子です。
「もうひとりの子供は、男の子でしょうか女の子でしょうか？」
普通に考えると、男の子の確率と女の子の確率は、50％ずつと思ってしまいます。
例題に出すくらいですから、答えは50％ずつではありません。
これも順番に考えてみましょう。
Ａさんには子供がふたりいる
最初の情報は「Ａさんには子供がふたりいる」ということです。
上の子と下の子の性別を考えると
- 上が男、下も男
- 上が男、下が女
- 上が女、下が男
- 上が女、下も女
この４通りです。
それぞれ、4分の1の確率だと考えていいでしょう。
これを事前確率とします。
ひとりは男の子
ここに、もうひとつの情報が加わります。
「ひとりは男の子」
です。
- 上が男、下も男
- 上が男、下が女
- 上が女、下が男
- 上が女、下も女
この４通りのうち、ひとりが男の子という情報から、「4.上が女、下も女」である可能性がなくなります。
ですから、可能性は次の3つです。
- 上が男、下も男
- 上が男、下が女
- 上が女、下が男
どれも4分の1と同じ確率だったものから、可能性がひとつ消えただけです。
この3つも同じ確率にならなければいけません。
1の場合は「もうひとりも男の子」で、２と３の場合は「もうひとりは女の子」です。
「もうひとりの子供は、女の子である確率が男の子である確率の2倍」
という結果になります。
ひとりは男の子の意味
この問題は、モンティー・ホール問題と似ています。
「ひとりは男の子」
という情報がどのように得られたのか、ということを考慮しなければなりません。
もし「上の子の性別は？」と聞いて「男の子」という答えを聞いたのであれば、下の子の性別は男女半々です。
子供が二人並んでいて「右側の子の性別は？」とか「左側の子の性別は？」と訊いた場合も同じです。
「女の子」という答えが返ってくる可能性があるような聞き方で「ひとりは男の子」という情報を得た場合は、もうひとりの性別は50％ずつになります。
そうではなく、単に「ひとりは男の子だよ」と言われただけの場合は、もうひとりが女の子の可能性が、2倍高くなるのです。
わかったような、わからないような、騙されたような気になるかもしれません。
でも、実際に確かめてみることができるものなので、嘘だと思う人は確認してみて下さい。
本当に確率は難しいものです。
